Sucesión de Fibonacci


Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci, contracción de filius Bonacci, es decir el hijo de Bonacci) nace en Pisa, posiblemente hacia 1170 y muere sobre 1250. Al ser su padre representante comercial de la ciudad de Pisa en Argelia, estuvo en contacto con la cultura árabe, interesándose especialmente por sus matemáticas.
Su obra principal fue el Liber Abaci (o Libro acerca del Ábaco), una extensa obra que contiene casi todo el conocimiento algebraico y aritmético de la época. En ella Fibonacci exponía entre otras cosas, la importancia del sistema de numeración indoarábigo. Escrito en 1202, sólo se conserva la versión de 1228 (segunda versión). En él aparece (pgs. 123 y 124) un problema sobre el nacimiento de conejos y que nada tuvo de significativo hasta que, a comienzos del siglo pasado, fue objeto de numerosos estudios que permitieron descubrir muchas de las propiedades que tiene. Aunque anteriormente Kepler (De Nive Sexangula) ya había relacionado la sucesión de Fibonacci con la sección áurea y el crecimiento de plantas.
En honor de Fibonacci, la sucesión definida por

 

f1 = f2 = 1
fn = fn - 1 + fn - 2 para n >= 3

recibe el nombre de sucesión de Fibonacci y sus término números de Fibonacci.
Los primeros téminos de la sucesión de Fibonacci son:

 

f 1 = 1
f 2 = 1
f 3 = f 2 + f 1 = 2
f 4 = f 3 + f 2 = 3
f 5 = f 4 + f 3 = 5
f 6 = f 5 + f 4 = 8
f 7 = f 6 + f 5 = 13
...
Es decir:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

 

En ella f 14 = 377 es el resultado buscado por Fibonacci.

En su Liber Abacci (El libro del Ábaco). Fibonacci propuso el siguiente problema:
"Tenemos una pareja de conejos, si, en cada parto obtenemos una nueva pareja y cada nueva pareja tarda un mes en madurar sexualmente y el embarazo dura un mes, ¿Cuantas parejas tendremos en 12 meses?"

 

 

La respuesta es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Cada numero se obtiene sumando los dos anteriores.

La sucesión de Fibonacci tiene muchas propiedades curiosas:

La suma de los n primeros términos es: a1 + a2 +... + an = an+2 - 1

La suma de los términos impares es: a1 + a3 +... + a2n-1 = a2n

La suma de los términos pares es: a1 + a4 +... + a2n = a2n+1 - 1

La suma de los cuadrados de los n primeros términos es: a12 + a22 +... + an2 = anan+1

Si n es divisible por m entonces an es divisible por am

Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre si

La propiedad mas curiosa de esta sucesión es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a larazón áurea. Esto es: an+1/an tiende a (1 + Ö 5)/2

A continuación se presenta la Solución de la Sucesión de Fibonacci para un Número entero, ingresado por el usuario.  La Solución esta dada en el Lenguaje de alto nivel Pascal, empleando el compilador Turbo, versión 7.0.

{ ** Autor: Luis U. **}

{ ** Country: Guatemala **}

{ ** Year 2012 ** }

Program Serie_Fibonacci;

Uses

     Crt;

Var

               num : Byte;

   a, b, c, aux : Word;

                 op : char;

Begin  {* Cuerpo Principal del Programa *}

   Repeat

       Clrscr;

       write('Programa que muestra la Serie de Fibonacci');

       writeln; writeln;

       write('Ingrese un número para calcular la serie:');

       readln(num);

       a:=1;

       b:=0;

       For c:= 1 to num do

       begin

          writeln('Mes ', c, ' ', a, ' parejas');

          aux:= a;

          a:= a + b;

          b:= aux;

       end;

       writeln('En total son ',b, ' parejas');

       write('El total de conejos es de: ', b * 2);

       writeln; writeln;

       write('Desea ingresar otro número (s/n):');

       readln(op);

   Until op = 'n';

   readln

End.